Moyenne,quartiles,diagramme

Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels, en euros, des employés d’une entreprise :

1. 
   Calculer le salaire moyen dans cette entreprise. Que penser d’un tel résultat ?
2. Dans cette entreprise, combien d’employés gagnent au plus 1050 euros ?
   Dresser le polygone des effectifs cumulés croissants et lire une valeur approchée de la médiane et de Q1 et Q3
3. Calculer de manière précise la médiane et les quartiles Q1 et Q3
4. Construire le diagramme en boîte de la série statistique

Solution:

1. Pour calculer le salaire moyen de l’entreprise, il faut considérer le milieu de chaque classe :

Le salaire moyen dans cette entreprise est donc de 993 €. Il n’est pas forcément très représentatif de cette entreprise, car plus de la moitié des employés y gagnent plus de 1000 euros !

2. Pour répondre à cette question, il faut dresser le tableau des effectifs cumulés croissants :

Ainsi, 165 employés gagnent au plus 1050 euros, au sein de cette entreprise
A partir de ce tableau, on dresse le polygone des effectifs cumulés croissants.

A partir de ce polygone, on cherche le salaire médian, c’est-à-dire celui qui va partager la série statistique en deux parties d’égale amplitude. Il s’agit donc du salaire correspondant à un effectif cumulé de 100 salariés (moitié de l’effectif). On se place ainsi que l’axe des ordonnées à l’effectif cumulé 100, et on lit l’antécédent de 100. Ce sera la médiane. On procède de même avec les quartiles Q1 et Q3, qui correspondent respectivement à un effectif cumulé de 1/4 x200 = 50 et de 3/4 x 200 = 150 On lit graphiquement que Médiane ≈ 1010 , Q1≈915 et Q3≈1050

3) Calcul précis de la moyenne et des quartiles Q1 et Q3

Pour calculer la médiane, on va réaliser une interpolation linéaire entre les points A(1000 ;91) et B(1050 ;165)

L’équation de la droite (AB) est de la forme :

Pour trouver la valeur de p , on utilise les coordonnées de A (ouB !) :

donc :

L’équation de (AB) est donc: 1,48x- 1389 . On trouve la médiane en calculant l’antécédent de la moitié de l’effectif (c’est à dire 200/2=100) par la fonction affine :

c’est-à-dire en résolvant l’équation 1,48x−1389=100⇔x= 1489/1.48 ≈1006,08

Ainsi Me≈1006

Puisque le quartile Q3 semble lui aussi appartenir à l’intervalle [1000;1050[, on utilise la même droite, et on résout l’équation 1,48x−1389=150 ⇔ 1539/1.48
≈ 1039,86

Ainsi Q3≈1040

De la même manière, pour déterminer le quartiles Q1, on doit déterminer l’équation de la droite reliant les points (900 ;42) et (1000 ;91). Cette droite a pour équation v=0,49x−399, et la résolution de l’équation 0,49x-399=50 ⇔
x= 449/0.49 ≈ 916,33  fournit Q1≈916

4.Le diagramme en boîte de la série est donné par :