Suites Arythmétiques et suites Géométriques

Intuitivement, une suite de nombre réel est une liste ordonnée de nombres. Cela signifie que parmi ses nombres il y a un premier que nous pourrons noter U1, le deuxième U2, le troisième U3 et de manière générale on peut noter Un.

Notations et définitions:

* On note (Un) à la suite U1, U2, U3 ……, Un, Un+1.
* Le nombre Un est appelé terme d’indice n de la suite.
* Il est parfois utile de noter U0 au premier terme.

Suite arithmétique :

Qu’est ce qu’une suite arithmétique ?

Partant d’un exemple, considérant la suite des naturelles impaires :
1-3-5-7-9-11-13-15….
On constate que l’on passe d’un terme à un suivant en ajoutant le même nombre
2. On dit alors que la suite des naturelles impaires est une suite arithmétique de raison 2.
De manière générale, lorsqu’on passe d’un terme Un au terme suivant Un+1 en
ajoutant un nombre fixe, on dit que la suite est arithmétique.

Définitions :

Dire q’une suite Un est arithmétique, signifie qu’il existe un réel « r », tel que
pour tout naturel « n » on a : Un+1 = Un + r
Le réel « r » est appelé raison de la suite Un. Et il peut être positif ou négatif.

Expression de Un en fonction de n :

Un est une suite arithmétique de raison « r ».
Alors pour tout naturel « n » nous avons l’expression suivante : Un = U0 + n.r
En effet : U1 = U0 + r
U2 = U1 + r = (U0 + r) + r = U0 + 2.r
Un = U0 + n.r
Exemple : Un est une suite arithmétique tel que U0 = 3 et r = 5.
Calculer U40: U40 = 3 + (40 × 5) = 203.

Relation entre Um et Up :

Um est une suite arithmétique de raison « r ».
Alors pour tout naturel « m » et tout naturel « p » nous avons :
Um = Up + (m – p) .r
Nous savons que Um = U0 + m.r de même Up = U0 + p.r
Donc on peut constater que Um – Up = m.r – p.r
<=> Um = Up + (m – p). r
Remarque : cette formule permet de calculer n’importe quel terme Um d’une
suite arithmétique, tel que l’on connaît l’un des ses termes Up et sa raison« r».

 Application :

Um est une suite arithmétique tel que U15 = 9 et r = 1.5
Calculer U32 : U32 = 9 + (32 – 15) . 1.5 = 34.5

Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :

La somme S = U1 + U2 + U3 ……+Up. De p terme consécutif est une suite
arithmétique sous forme de : S = p (U1 – Up) / 2.
En effet, il s’agit de vérifier si : 2S = p (U1 + Up).
On a 2S = (U1 + U2 + U3 +….. + Up) + (Up + Up-1 + ….. + U1)

 Application:

Soit Un une suite arithmétique de raison « r », déterminer :
A/ U0 = 2 ; r = 3 ; U17 = ?
U17 = 2 + (17 × 3) = 53
B/ U0 = 3 ; U4 = 4 ; r = ?
U4 = U0 + (4 × r)
=>U4 – U0 = 4 × r
=> r = (U4 – U0) / 4
=> r = ¼
C/ U7 = 5 ; r = -1 ; U0 = ?
U7 = U0 – 2
=> U0 = 5 + 2 = 7
D/ U5 = 1 ; U9 = 7 ; r = ?
U9 = U5 + (9 – 5) × 2 => U9 = 3/2.

Suite géométrique de raison strictement positive:

Qu’est ce qu’une suite géométrique ?

Partant d’un exemple, considérant la suite de puissance de 2 :
1 – 2 – 4 – 8 – 16 ….
On passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par le nombre 2. On
dit alors que cette suite est géométrique de raison 2.
De manière générale, lorsqu’on passe d’un terme Un au terme suivant Un+1 en
multipliant toujours par le même nombre fixe, on dit que la suite Un est
géométrique.

 Définition :

Dire qu’une suite Un est géométrique d’une raison strictement positive, signifie
qu’il existe un réel q>0. Tel que pour tout naturel « n » nous avons :
Un+1 = q . Un
Le réel « q » est appelé raison de la suite.
2- Expression de Un en fonction de « n » :
Un est une suite géométrique de raison q>0.
Alors que pour tout naturel « r » nous avons Un = qⁿ . U0
En effet : U1 = q . U0
U2 = q . U1 = q² . U0
Un = q . Un-1 = qⁿ . U0

 Exemple :

Un est une suite géométrique avec U0 = 3 et q = ½
Calculer U3 = (½)³ × 3 =3/8

Relation entre Un et Up :

Un est une suite géométrique de raison « q », alors pour tout naturel « p » et
« n » nous avons : Un = Up . qⁿˉp

Remarque :

Cette formule permet de calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique, dès que l’on connaît l’un de ses termes et sa raison « q ».

Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique:

S  représente la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison « q », dont « a » le premier terme de S et « k » le dernier terme.
S = a + a. q² + a. qⁿ + ….. + k
<==>  S = a- k q/1-q   si q est différent de 1