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Ce polycopie s’adresse aux étudiants ayant suivi un cours d’intégration et un premier cours de probabilités. La Partie 1 contient un bref rappel de quelques notions de base de probabilités, souvent sans démonstration. La Partie 1 présente aussi les résultats probabilistes utilisés dans la Statistique qui généralement ne sont pas exposés dans les cours de probabilités (théorèmes de continuité, régression et corrélation, lois dérivées de la normale multivariée, etc).

La Partie 2 introduit les principales notions de la Statistique et décrit quelques méthodes classiques de l’estimation, de tests d’hypothèse et de construction des intervalles de confiance. Enfin, la Partie 3 contient l’application des méthodes statistiques dans les 3 modèles concrets multi-dimensionnels, a savoir, celles de l’analyse en composantes principales, de la régression linéaire multivariée et de l’analyse discriminante (classification).

Partie 1: Rappels et compléments de probabilités

Chapitre 1: Quelques rappels de probabilités

1.1. Caractéristiques des variables aléatoires
1.2. Rappel de quelques inégalités
1.3. Suites de variables aléatoires
1.4. Indépendance et théorèmes limites
1.5. Théorèmes de continuité
1.6. Exercices

Chapitre 2: Régression et corrélation

2.1. Couples des variables aléatoires. Lois jointes et marginales
2.2. Conditionnement (cas discret)
2.3. Conditionnement et projection. Meilleure prévision
2.4. Probabilité et espérance conditionnelles (cas général)
2.5. Conditionnement (cas continu)
2.6. Covariance et corrélation
2.7. Régression
2.8. Variance résiduelle et rapport de corrélation
2.9. Régression linéaire
2.10. Meilleure prévision linéaire
2.11. Exercices

Chapitre 3:Vecteurs aléatoires. Loi normale multivariée

3.1. Vecteurs aléatoires
3.2. Loi normale multivariée
3.3. Espérance conditionnelle d’un vecteur aléatoire
3.4. Théorème de corrélation normale
3.5. Lois dérivées de la loi normale
3.6. Théorème de Cochran
3.7. Exercices

Partie 2:Notions fondamentales de la Statistique

Chapitre 4: Échantillonnage et méthodes empiriques

4.1. Échantillon
4.2. Représentation graphique de l’échantillon
4.3. Caractéristiques de l’échantillon. Méthode de substitution

Statistiques exhaustives

4.5. Propriétés des statistiques X ¯ et s²
4.6. Covariance et corrélation empiriques
4.7. Construction d’un échantillon pseudo-aléatoire par simulation
4.8. Exercices

Chapitre 5: Estimation des paramètres

5.1. Modèle statistique. Problème d’estimation des paramètres
5.2. Comparaison d’estimateurs
5.3. Méthode des moments
5.4. Méthode du maximum de vraisemblance
5.5. Comportement asymptotique de la fonction de log-vraisemblance
5.6. Consistance de l’estimateur du maximum de vraisemblance
5.7. Modèles statistiques réguliers
5.8. Normalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance
5.9. Comparaison asymptotique d’estimateurs
5.10. Exercices

Chapitre 6:Tests d’hypothèses et régions de confiance

6.1. Le problème de test d’hypothèse
6.2. Test d’hypothèse simple contre l’alternative simple
6.3. Tests des hypothèses composites
6.4. Tests dans le modèle normal
6.5. Tests asymptotiques
6.6. Tests de comparaison de deux lois normales
6.7. Régions de confiance
6.8. Méthodes de construction des régions de confiance
6.9. Dualité entre tests et régions de confiance
6.10. Exercices

Partie 3: Analyse statistique multivariée

Chapitre 7:Analyse en composantes principales

7.1. Données multivariées
7.2. L’idée de l’Analyse en composantes principales (ACP)
7.3. ACP : cadre théorique
7.4. ACP : cadre empirique
7.5. Etude des corrélations : cadre théorique
7.6. Etude des corrélations : cadre empirique
7.7. Exemple d’application numérique de l’ACP
7.8. Représentation graphique des résultats de l’ACP
7.9. Limites d’utilisation de l’ACP
7.10. Exercices

Chapitre 8: Régression linéaire multivariée

8.1. Le problème d’estimation de régression multivariée
8.2. Méthode des moindres carrés
8.3. Propriétés statistiques de la méthode des moindres carrés
8.4. Régression linéaire normale
8.5. Application au problème de prévision
8.6. Application aux tests sur le paramètre θ
8.7. Exercices

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